Conjuntos

Los conjuntos es algo que desde pequeños miramos en el colegio. Todo es tan sencillo, un círculo con elementos adentro. Eso no tiene nada de complejo. Sin embargo, algo tan sencillo como un conjunto puede tener operaciones, puede tener condiciones respecto a otros conjuntos, lo cual hace todo más complicado. Lo más sencillo son las operaciones de unión, intersección, complemento, etc. Asociar estas operaciones con los conectivos lógicos de las preposiciones lo cual da un grado más de dificultad. 

Las operaciones cada vez se complicaron más. La cardinalidad de un conjunto nunca lo había escuchado, al igual que lo del plano cartesiano. En el momento que teníamos que identificar la operación que se mostraba en la imagen o teníamos que sombrear la operación brindada era algo que me costaba mucho. Al final descubrí que haciendo paso por paso y haciendo varios conjuntos todo era más sencillo. 

Rompecabezas Lógicos

Esta clase estaba pensada como una de las más sencillas, en la cual íbamos a salir temprano por lo fácil que sería el ejercicio. Al leer el ejercicio todo iba bien ya que era fácil de comprender. Nos daban pistas que poco a poco nos servían para llegar a un resultado. Sin embargo, al ver el formato del rompecabezas yo ni siquiera lo entendía. 

Las pistas que nos daban eran muy escasas para todos los cuadros que teníamos que llenar. El objetivo de este ejercicio era ir llenando los cuadros restantes con lógica y así encontrar el cuadro en donde podíamos colocar un círculo donde si era la respuesta. Una vez encontrada una respuesta se rechazaban todas las demás ya que ya no eran útiles. Esto nos ayudaba a visualizar mejor las demás respuestas. Lo que más me costó fue iniciar ya que la tabla para resolver era muy complicada y ni la entendía. Una vez empezado el rompecabezas poco a poco le agarramos práctica por lo que fue más sencillo. 

Proposiciones Inversas, Recíprocas y Contrapositivas

Esta fue una de las clases en las que probablemente más trabajamos. Entender lo que era una inversa, una recíproca y una contrapositiva no fue nada difícil. Era nuestra proposición directa la cual cambiábamos de distintas formas ya sea le dábamos la vuelta, la negábamos o ambas al mismo tiempo. Siempre iba a tener el mismo significado pero en distintas palabras u orden diferente. Este día fue algo tedioso porque nos daban una proposición directa y debíamos colocarla en las tres diferentes formas, por lo que nos tardamos mucho. Me confundí un poco con las diferentes formas de expresar una condicional lo cual es completamente diferente. Siempre y cuando entendíamos bien la proposición directa, formar las otras tres era más sencillo al igual que encontrar su valor de verdad. 

Condicionales

Esta clase se podría decir que fue la unión de todas las clase de lógica proposicional que habíamos tenido antes. Fue un poco más complicado ya que teníamos que analizar un panorama más completo, disyunción, conjunción, negaciones con leyes de Morgan. Todo esto lo hacía más complicado. Para realizar los ejercicios más complejos los cuales incluían paréntesis y negaciones, primero entendimos lo que una condicional, su símbolo, lo que significa y su tabla de verdad. 

Una vez entendida esta tabla de valor, ya estábamos preparados para hacer operaciones grandes. El secreto fue hacerlas con jerarquía de operaciones. Lo más importante era darle un valor de verdad a cada proposición. Conforme íbamos resolviendo llegábamos a dos proposiciones las cuales podían ser verdaderas o falsas y dependiendo el conectivo lógico que teníamos íbamos a dar por terminado nuestro ejercicio. 

Tablas de Verdad y Leyes de Morgan

En esta clase aprendimos las distintas operaciones que podemos realizar con dos o más proposiciones. Con el objetivo de hallar su valor de verdad. 

Conjunción:

Su conectivo lógico es Y y se representa por un símbolo de un triangulo para arriba como el de una A mayúscula. Esto significa uno Y el otro, por lo que se utiliza con proposiciones compuestas. 

Disyunción: 

  

Su conectivo lógico es O y se representa con un símbolo de v. Esto nos quiere decir que puede ser cualquiera de las opciones, una o la otra, inclusa ambas. 

Leyes de Morgan

Estas leyes se utilizan para encontrar las negaciones de ciertas proposiciones compuestas. Funciona como la ley de signos en una operación matemática. 

Proposiciones y Valores de Verdad

Antes de esta clase, yo creía que todos los enunciados eran proposiciones. Sin embargo, aprendimos que no es así. Todo lo que es opinión propia no cumple con las características necesarias para considerarse una proposición. Principalmente porque no se puede definir su valor de verdad. Aprendimos que así como se pueden expresar con palabras, estas se pueden expresar con símbolos también. 

Aprendimos la negación de las proposiciones y los diferentes símbolos. Esto incluye la tabla de valor de verdad  de cada conectivo lógico y cuando este hace la proposición verdadera y cuando la hace falsa. En lo personal, lo que más se me facilitó y me gusto de esta clase fue encontrar el valor de verdad de un proposición. 

Interpretación de Gráficas Parte 2

En clase de hoy continuamos con lo que es la interpretación de gráficas. El Ingeniero nos explicó lo importante que es saber entender las gráficas, ya que estas se aplican en varios casos de nuestra vida. En Economía aprendimos diversas gráficas como las de oferta y demanda. Saber como interpretarla es el objetivo de graficar. 

El día anterior de clases aprendimos como interpretar gráficas de pie. El día de hoy resolvimos 15 ejercicios. Eran distintos tipos de gráficas las cuales teníamos que interpretar para encontrar la solución de cada uno de los enunciados. A pesar de que eran 15 ejercicios al principio pensamos que iba a ser algo eterno, sin embargo, conforme los íbamos resolviendo cada vez era más fácil. Lo complicado era que las gráficas no tenían datos exactos por lo que en algunas operaciones utilizamos datos aproximados y no sabíamos si estábamos haciendo bien las cosas. En algunos casos aplicamos fórmulas que utilizamos en economía. 

Interpretación de gráficas, Gráficas de pie

En esta clase vimos lo que eran gráficas de pie. Yo había visto muchas veces estas gráficas, sin embargo, no sabia que se llamaban así. La resolución de estos problemas era muy sencillo ya que solo debíamos interpretar cada una de las gráficas que se nos daban para encontrar una solución. Cada problema constaba de cuatro preguntas que se resolvían ya sea multiplicando el total por alguno de los porcentajes expresados o sacando diferencias entre porcentajes y cantidades. Algunas gráficas no tenían muy claro el porcentaje, los nombres y la leyenda no se entendía por lo que el ingeniero se vio en la necesidad de escribirnos en el pizarrón algunos datos. La resolución de estos problemas también fue algo sencillo ya que no utilizamos el método de Polya por lo que fue más rápido. 

Juguemos Tangram

En esta sesión el ingeniero nos mando una plantilla de tangram para imprimir. La dinámica era similar a la del día anterior. 

Cuando nos pasaron las hojas aparentemente era mas sencillo, sin embargo, conforme íbamos avanzando si era difícil. Formar las figuras utilizando todas las piezas era muy complicado. Al igual que en el día anterior, a muchas personas les era sencillo este tipo de actividades pero a mi no. 

Al final, el catedrático decidió que era mejor repasar las figuras en la hoja por cuestión de tiempo. Yo creí que era más sencillo pero no fue así. Tenía que formar las figuras y ya visualizándola podía repasar en la hoja cada una de las piezas. 

Formando Figuras

Esta clase fue algo diferente, fue más entretenida. El ingeniero nos envió una plantilla con figuritas la cual teníamos que imprimir. 

Cortamos cada figura de colores. El objetivo de la actividad era formar figuras ya establecidas con todas las piezas. Esta actividad fomenta el manejo espacial, resolución de problemas diversos, observación, paciencia y criterio. A muchos de mis compañeros se les facilito esta actividad. Nos dimos cuenta que no todos tenemos las mismas habilidades. En lo personal se me dificultó bastante ya que formaba varias figuras pero me sobraba más de alguna pieza o no eran figuras que estuviesen en la hoja. Me frustre un poco pero al final con la debida paciencia y dedicación pude formar mis ocho figuras para poder irme a casa. 

Ecuaciones Parte 2

El siguiente día de clases nos enfocamos en resolución de enunciados con ecuaciones lineales. En lo personal a sido una de las sesiones que más me han gustado, ya que es un tema que se me facilita. El primer problema que resolvimos era acerca de un circo que vendía entradas para niños y adultos, nos explicaba cuanto habían recaudado, cuanto era el costo de cada entrada por niño y por  adulto y cuantos en total habían asistido. El objetivo era encontrar cuantos niños y cuantos adultos habían asistido. Este tipo de problemas se resuelven con un sistema de ecuaciones de dos variables, siendo X los niños y Y los adultos. 

Cada problema lo íbamos resolviendo con los cuatro pasos de Polya. Lo complicado era entender el problema y formular una ecuación en donde encontráramos la respuesta al resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones. Un problema que llamo mi ecuación fue el de las monedas. En este problema nos decían que teníamos Q2.30 en monedas de Q0.05, Q0.25 y Q0.50. El objetivo del problema era encontrar la cantidad de monedas que teníamos de cada cantidad. Tras leer cada indicación que se nos daba descubrimos que no era sistema de ecuaciones, sino una ecuación con varias operaciones. 

El problema que más me causo estrés fue el de el comerciante de caballos. La formulación de la ecuación a mi parecer no era difícil, siempre y cuando entendíamos bien el enunciado. Todo iba bien hasta que llegamos a una solución. La respuesta que encontramos era algo aproximado a 82.9 lo cual no podíamos tener un decimal de caballo.

Ecuaciones Parte I

En esta clase la estrategia que íbamos a utilizar era formular ecuaciones lineales de primer grado. Cuando yo supe que ese iba a ser el tema pensé que sería fácil y que podría irme temprano. Era una clase más sencilla porque no utilizaríamos el método de Polya, lo que muchas veces nos toma mucho tiempo de clase. La primera serie de trabajo fue sencilla ya que nos daban un enunciado con una expresión matemática y teníamos que identificar la ecuación a la que se refería. 

La segunda parte ya era de resolución de ecuaciones. Esta parte fue verdaderamente sencilla. En lo personal, lo más difícil fue tener que dibujar el crucigrama en una hoja. Eran bastantes ecuaciones pero las hice muy rápido y conforme iba llenando todos los espacios, algunas ya estaban resueltas.  

La última parte fue realmente estresante. Todo inició tan fácil, iba resolviendo ecuación por ecuación. Si todas las ecuaciones hubieran sido como las primeras, el ejercicio hubiera sido de los más fáciles. Cuando nos topamos con una ecuación de grado 4 fue cuando ya no pudimos continuar con el ejercicio ya que es un tema que aún no hemos visto. El no terminar el ejercicio fue algo desmotivante. 

Porcentajes y Proporciones

En esta clase realizamos problemas que tenían relación con porcentajes, proporciones y razones. En lo personal fue una de las clases más fáciles, ya que es un tema que se ve en todos los básicos y el cual repasamos en propedeutico de matemática. Casi todos los problemas se resolvían con regla de tres, la dificultad no era encontrar porcentajes o cantidades, lo importante era leer bien el problema e identificar realmente que era lo que pedían. Podíamos encontrar varios porcentajes y cantidades que estaban correctas, sin embargo sino contestábamos lo que el problema pedía todo estaba mal. 

Los porcentajes eran fáciles, lo que a mi se me dificultó un poco fueron las proporciones. El problema de las sillas y las mesas me costo un poco al igual que el de hombres y mujeres. Si había cierta cantidad de mesas no se podía exceder el número de sillas. En cuanto al de hombres y mujeres fue más sencillo ya que utilice mis dedos para contar los grupos de ambos. En realidad no se si fue la mejor forma de resolverlo pero entendí mejor. 

Tipos de Razonamiento

Al resolver un problema de razonamiento este puede ser de dos tipos, inductivo o deductivo. Es complicado identificar cual de los dos se aplica en cada problema, ya que estos ya estaban resueltos y el desafío era encontrar el método que utilizaron. El razonamiento inductivo se basa en llegar a una conclusión general basada en hechos que observamos que pueden ser repetitivos, sin embargo esto no nos asegura que sean ciertos. Para mi este fue el método más sencillo ya que solo necesitábamos hechos repetitivos para generalizar una situación específica, por otro lado, si solo un hecho era diferente a todos los demás todo estaba mal. El razonamiento deductivo es cuando de varios hechos generales deseamos saber uno específico donde se basa en evidencias y explicaciones por lo que la certeza que se tiene es mayor. 

Los primeros ejercicios que realizamos estaban algo complicados ya que nos presentaban un enunciado y el objetivo era identificar el tipo de razonamiento que estaba aplicado en el problema. Un enunciado decía "Todos los hombres son mortales. Sócrates es mortal. Por lo tanto Sócrates es hombre" a mi parecer este es un tipo de enunciado con razonamiento deductivo ya que de algo general especificamos un detalle. 

La segunda y tercera parte del ejercicio era en cuanto números e identificar el número que seguía en ciertas secuencias. Esta parte me pareció como si estuviéramos trabajando con patrones. 

Resolviendo un Problema Equivalente

Recordar todos los problemas que hemos echo es muy importante ya que en algún futuro podemos encontrar alguno similar y al recordar la solución que le dimos a un problema equivalente nos ayudará a encontrar la respuesta del original. El objetivo de esta estrategia es analizar varias situaciones que ya resolvimos para que sean una guía al intentar con nuevos retos. 

Resolvimos varios problemas equivalentes, utilizando siempre el método de Polya y siendo siempre el más importante el paso 1, donde entendemos el problema y lo que se nos pide encontrar. En los ejercicios donde debíamos colocar ciertos números en unos cuadrados con el objetivo de que tanto horizontal como verticalmente sumaran exactamente lo mismo, era más sencillo resolver con números más pequeños y luego colocar los originales. En este caso resolvimos un caso equivalente y cuando lo hicimos con el original dio un resultado correcto. 

Uno de los problemas más sencillos fue el de las casas y los pozos, sin embargo, por más sencillo que fuera se nos dificultó bastante. El objetivo era conectar cada casa con su pozo con líneas rectas o curvas sin interceptar con otro camino. Nos complicamos tanto y no pensamos en la solución más fácil. Muchas veces creemos que la solución es difícil y no nos damos cuenta que a veces el camino más fácil es el correcto. 

Diagrama o Figura

Leer un problema y entenderlo puede ser el paso más difícil para resolverlo, Cuando dibujamos lo que entendemos estamos haciendo un diagrama o una figura que nos facilita su resolución. En lo personal no necesito tanto de una figura para resolver algo, sin embargo me di cuenta que el dibujar el problema me ayuda a entenderlo y a solucionarlo como debe de ser. 

Lo más difícil de esta estrategia era dibujar ya que mientras más exacto y claro es el diagrama o figura más sencillo sería entender y resolver el problema. Es una herramienta de gran utilidad siempre y cuando sea utilizada de la forma correcta. 

Todos los problemas que resolvimos tenían su dificultad, sin embargo, el más entretenido para mi fue el de los cuatro señores y sus esposas. El objetivo del problema era encontrar la posición en la que cada uno estaba sentado. En estos casos un dibujo es de mucha importancia ya que así visualizamos lo que deseamos encontrar. 

Del Final Hacia el Inicio

Cuando empezamos a trabajar en un problema, siempre utilizando los cuatro pasos de Polya, cuando se nos da un lista, o una serie, queremos identificar el procedimiento basado en el primer dato que nos dan, hasta llegar al final. Aprendimos a utilizar la información final y cuando vamos de retroceso con todos los datos llegamos a la respuesta la cual es el dato inicial. 

La mayoría de los problemas nos podían encontrar el número original y nos daban ciertas operaciones por las cuales el número había pasado y cual era el resultado final. En estos casos lo que tuvimos que hacer fue aplicarle todas las operaciones contrarias al final con el objetivo de llegar al número ordinario. Por Ejemplo si nos decía que se había multiplicado por 6 nosotros lo dividimos por 6, si era elevado por alguna potencia le sacábamos la raíz con el mismo indice, etc. Los problemas más entretenidos eran los que decían que teníamos cierta cantidad de dinero y nos explicaba como se iba gastando por lo que pedía la cantidad con la que iniciábamos. Para dicho problema se tomaba en cuenta todos los gastos y como iban sucediendo, si se gastaba la mitad del dinero o 1/4, etc. 

Hacer un Cuadro o una Lista

Cuando resolvemos un problema con muchos datos, aveces es más fácil hacer una tabla o una lista con todos ellos para visualizar la información de mejor forma. Al hablar de tabla también contamos con un patrón que facilita las cosas. Muchas veces nuestra información puede ser muy amplia por lo que colocar o encontrar todos los datos puede utilizar mucho tiempo el cual podríamos utilizar en otras situaciones. En estos casos, apuntamos varios datos en la tabla, luego se encuentra el patrón y por fines didácticos se coloca el último dato de la tabla. Con esta estrategia aprendimos a ser más ordenados con la información que poseemos. 

En esta sesión de la clase hicimos varios problemas que tenían cierto grado de dificultad, sin embargo los resolvimos sin mayor preocupación. El problema que más se me dificultó fue el de los tres equipos de fútbol: Blancos, Rojos y Amarillos. En dicho problema se nos proporcionó una tabla con resultados de los juegos jugados, los ganados, empatados, goles a favor y en contra de cada equipo. Sin embargo, la tabla estaba incompleta por lo que el reto era encontrar el resultado de cada partido. 

Encontremos un Patrón

Esta estrategia es una de las más complicadas a mi parecer. Cuando resolvemos un problema, no nos damos cuanta de que puede ser más fácil de lo que pensamos y nos hemos complicado la vida resolviendo de forma larga. El observar y pensar detenidamente nos puede guiar al patrón que se desarrolla en un ejercicio. Lo más interesante que aprendimos en esta clase fue el utilizar la estrategia de Karl Friedrich Gauss para determinar un patrón. 

Trabajar en grupo trae muchas ventajas como desventajas si uno así lo quiere. Es más fácil llegar a una solución con tantas ideas que se aportan pero si uno no pone de su parte tampoco se aprende. Resolvimos todos los problemas y a pesar que estaban un poco complicados, el que más se nos dificultó fue el de los triángulos. Al principio empezamos a contar todos los lados de cada triángulo que formaban la pirámide, luego pensamos en dibujar la cantidad de niveles que se nos pedían en las instrucciones, sin embargo iba a ser eterno. Al final nos dimos cuenta que al multiplicar el número de fila por 3 y sumarle el resultado anterior encontrábamos el resultado del número de palillos que habían en una fila determinada. 

Un Problema Más Sencillo

Todos los problemas tienen su dificultad, y visualizándolos de forma diferente puede que se nos haga más fácil su solución. En esta clase el ingeniero nos entrego paletas de helados para resolver ciertos problemas. El formar figuras y seguir las instrucciones que los problemas nos daban era un poco difícil. Al tener la figura frente a nuestros ojos y tratar de quitar cierta cantidad de paletas para formar otra figura era un gran reto por más sencillo que parezca.

Habían muchos problemas muy complejos como los que involucraba saber cuantos cuadros habían en una figura, y por lo cual debíamos de contar cuadros de 2*2, 3*3, etc, hasta llegar al número exacto. Resolviendo todos estos problemas escribíamos siempre los cuatro pasos para resolver un problema de Polya. 

En esta clase el problema que más me gusto fue en el cual debíamos repartir cierta cantidad de cuadros, en un número establecido todos de la misma forma y tamaño. 

PRIMER DÍA DE CLASES

El primer día de clases, el Ingeniero Julio Maltez nos dió una breve explicación de como iba a funcionar este curso de interciclo y la forma en la cual íbamos a trabajar. Me pareció interesante el hecho de que la clase no iba a ser como cualquier otra, no se iba a impartir una cátedra. La dinámica consistía en leer un ejemplo y luego desarrollar los ejercicios que el ingeniero nos indicaba. 

Este día aprendimos algo muy importante. La resolución de problemas al parecer de muchos es algo muy fácil, sin embargo al no tener el método correcto para solucionarlo las cosas se pueden complicar. El método de los cuatro pasos para resolver un problema de POLYA realmente facilita las cosas. Esto consiste en:

1. Comprender el problema
2. Formular un plan
3. Llevar a cabo un plan 
4. Revisar y comprobar

El primer paso siempre será el más importante, ya que si no se entienda el problema no tenemos un punto de donde partir. 

En cada problema que íbamos a resolver a lo largo del curso, debíamos incluir los cuatro pasos. A pesar de ser algo repetitivo nos dimos cuenta que era algo que nos iba a ayudar mucho.